Théorie des ensembles : outils classiques

Code APOGÉE : MA2DE050 | 6 ECTS | Enseignant : Mirna Dzamonja | Validation : CC + examen
Horaires hebdomadaires : 4h CM | Mutualisé avec : M2 LMFI

Le 8 août 1900, lors du second Congrès International des mathématiciens, à Paris, David Hilbert énonça une liste de 23 problèmes mathématiques qui, selon lui, devaient servir de guide pour les recherches à venir dans le nouveau siècle. Le premier problème de cette liste, l’hypothèse du continu de Cantor, a été résolu, en deux temps : par Gödel (1938) qui construisit un modèle interne de l’hypothèse généralisée du continu, et par Paul Cohen (1963), qui a inventé une construction de modèle pour la négation de l’hypothèse de Cantor.

Ce cours couvrira principalement les deux constructions de modèles de la théorie des ensembles introduites par Gödel et Cohen.

Programme

• Les classes propres modélisant ZFC, dont l’univers constructible L
• La méthode du Forcing et la cohérence relative de la négation de HC
• Quelques exemples classiques du forcing
• L’Axiome de Martin MA
• Quelques applications et quelques limitations de MA
• Rappel sur les bases de la théorie des ensembles : cardinaux, ordinaux, ordres, algèbres de Boole, etc.
• Arbres et théorie de Ramsey
• Modèles de ZFC, réflexion, relativisations, ensembles définissables en termes d’ordinaux
• L’univers constructible L de Gödel, la cohérence de l’Axiome du Choix et l’Hypothèse du Continu
• Notion de forcing et extensions génériques, théorème fondamental du forcing
• Applications du forcing : le principe ‘diamant’, arbres de Souslin, Kurepa, etc.
• Itération de forcing, l’axiome de Martin et applications

Bibliographie

• Dehornoy, P. (2017). Théorie des ensembles. Paris : Calvage et Mounet.
• Jech, T. (2003). Set Theory, 3rd Millennium Edition. Berlin : Springer-Verlag.
• Kunen, K. (1980). Set Theory with Introduction to Independence Proofs. Amsterdam : North-Holland.
• Weaver, N. (2014). Forcing for mathematicians. Singapore : World Scientific.